I. Proportionnalité:
Définition: Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que l'une est obtenue en multipliant l'autre par un même nombre.
Exemples:
Exemple 1: le prix payé pour acheter de l'essence dans une même station service à un même moment est proportionnel à la quantité d'essence que l'on prend.
Le nombre 1,9 qui permet de passer de la première à la deuxième ligne, de la quantité d'essence en litre au prix en euros s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemple 2 : la taille d'une personne (en m) n'est pas proportionnelle à son âge.
Si le tableau était un tableau de proportionnalité le coefficient de proportionnalité serait de 5 car 1 x 5 = 5. Or, 1,3 x 5 = 6,5 est différent de 10. ou 1,7 x 5 = 8,5 est différent de 15. Ce tableau n'est donc pas un tableau de proportionnalité.
Remarque: En commençant un exercice, il faut bien s'assurer que les deux grandeurs sont proportionnelles, sinon les méthodes de proportionnalité n'ont aucun sens.
Attention, il ne faut pas confondre les grandeurs avec les unités de mesure.
2) Voir si deux grandeurs sont proportionnelles:
Exemple:
3) Compléter un tableau de proportionnalité:
a) Méthode 1 : en utilisant le coefficient de proportionnalité:
Exemple:
On cherche le coefficient de proportionnalité:
on peut vérifier: 5 x 0,6 = 3.
Le nombre cherché est donc 8 x 0,6 = 4,8
Remarque: le coefficient de proportionnalité peut être une fraction non décimale, il faut prendre des valeurs exactes donc donner les réponses sous la forme de fractions (parfois non décimales), par exemple :
b) Méthode 2 : passer d'une colonne à une autre ( linéarité multiplicative des colonnes:
Exemple:
c) Méthode 3 : passage à l'unité: ("règle de trois"): Cela revient à déterminer le coefficient de proportionnalité (méthode 1), c'est juste la présentation qui change.
d) Méthode 4: linéarité additive des colonnes:
Exemple:
Remarque: il est possible de combiner les colonnes et d'utiliser les méthodes 2 et 4, par Exemple:
II. Quelques applications de la proportionnalité:
1. Les pourcentages:
a) Appliquer un pourcentage:
Exemple: 20% de 150 euros
Un pourcentage est utilisé pour exprimer une proportion d'une quantité par rapport à un total de 100. Par exemple 20% de 150 est 30.
b) Exprimer une proportion en pourcentages:
Exemple: dans une école de 250 élèves, 80 sont demi-pensionnaires (mangent à la cantine tous les midis). Quel est le pourcentage d'élèves demi-pensionnaires ?
Pour transformer une proportion en pourcentage, il faut se ramener à un total de 100.
2. Les échelles:
Lorsque les longueurs sur une reproduction sont proportionnelles aux longueurs réelles, l'échelle e est:
Attention : les longueurs sur la reproduction et réelle doivent être exprimées dans la même unité, très souvent en cm.
Exemple:
Remarque:
Si e > 1, la reproduction est un agrandissement,
si e < 1, la reproduction est une réduction.
Exemples:
Taille du corps de la coccinelle:
La longueur du corps de la coccinelle est d'environ 0,6 cm (6 mm). Tour Eiffel:
La tour Eiffel mesure environ 32 000 cm (320 m).
3. vitesse moyenne:
Un exercice pour réviser la notion de proportionnalité:
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