I. Rappels : symétries, translations, rotations:
1. Symétrie axiale:
Deux points M et M' sont symétriques par rapport à une droite (d) si : - [MM'] est perpendiculaire à (d)
- la droite (d) coupe le segment [MM'] en son milieu
Autrement dit, M et M' sont symétriques par rapport à une droite (d) si (d) est la médiatrice du segment [MM'].
Remarque: Transformer une figure par une symétrie axiale, c'est créer l'image de cette figure par pliage le long de l'axe.
Construction:
Construction de la symétrie d'un rectangle par une symétrie axiale (avec l'équerre):
Construction de la symétrie d'un rectangle par rapport à une droite (avec le compas)
Construction d'images de figures:
Propriétés de la symétrie axiale:
2. Symétrie centrale:
Deux points M et M' sont symétrique par rapport à un point O si O est le milieu du segment [MM'].
Remarque:
Transformer une figure par une symétrie centrale, c'est créer l'image de cette figure par
un demi-tour autour du centre.
Construction:
Symétrie d'une figure par une symétrie centrale (avec des carreaux ou du papier pointé):
Image d'une figure par une symétrie centrale (sans carreaux):
Utiliser les propriétés des symétries (axiale et centrale):
3) Translation:
Le point M' est l'image d'un point M par la translation qui transforme un point A en un point B si le quadrilatère MM'BA est un parallélogramme.
Remarque:
Transformer une figure par une translation, c'est créer l'image de cette figure par rapport à un glissement d'un point à un autre point.
Construction:
Image d'une figure par une translation (avec des carreaux):
Image d'une figure par une translation en utilisant l'équerre, la règle et le compas:
Image d'un point par une translation (sans carreaux) avec le compas:
4) Rotation:
Le point M' est l'image d'un point M par la rotation de centre O d'angle a° dans le sens inverse dans aiguilles d'une montre ou anti-horaire (ou positif ou direct) si:
OM = OM'.
l'angle MOM' = a° (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre)
Remarque:
Transformer une figure par rotation, c'est créer l'image de cette figure par une rotation autour du centre suivant un angle donné et dans un sens donné.
Construction:
Image d'une figure avec un quadrillage (avec des carreaux):
Image d'un point par une rotation:
Image d'un triangle par une rotation:
Remarque:
Une rotation de centre 0, d'angle 180° et quel que soit le sens est une symétrie de centre O.
II. Homothétie:
Homothétie de rapport positif:
M' est l'image d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k (k>0) signifie que:
O, M, M' sont alignés.
M et M' sont du même coté par rapport à O, donc M appartient à [OM'] ou M' appartient à [OM].
OM' = k OM.
Ici k = 2 :
Exemples:
Remarque:
Si k>1, alors l'homothétie correspond à un agrandissement.
Si 0<k<1, alors l'homothétie correspond à une réduction.
Définition:
Homothéties de rapport positif (avec des carreaux):
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2) Homothétie de rapport négatif.
M' est l'image d'un point M par l'homothétie de centre O et de rapport k (k<0) signifie que:
O, M, M' sont alignés.
M et M' ne sont pas du même coté par rapport à O, donc O appartient à [MM']
OM' = (-k) OM.
ici, k = -0,5:
Exemples:
Image d'un point par une homothétie:
Image d'une figure par une homothétie (sans compas mais en calculant les longueurs):
Image d'une figure par une homothétie (avec le compas):
Effet de l'homothéties sur les longueurs et les aires:
Pour s'entraîner (avec corrigé):
Effet d'agrandissements ou de réductions sur les aires:
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